Krivky a plochy v počítačovej grafike (otázky 42 - 49)¶

[Zdroj: PG_2021_Otazky_z_predmetu.pdf, skuska2023.pdf, prednasky.pdf]

42. Krivky používané v počítačovej grafike, spôsob využitia, 1D krivkové útvary¶

Zaradenie vo vizualizačnom procese¶

Krivky (a neskôr plochy) patria typicky do: - 1. vrstvy – definovanie/spracovanie modelu (geometrická reprezentácia), - 2. vrstvy – transformácie nad objektami (krivky/plochy sa transformujú rovnako ako iná geometria).

Základné typy kriviek (podľa spôsobu popisu)¶

Krivky dané analytickým popisom (dané funkciou/rovnicou).
Interpolačné krivky – riadiace body (vrcholy) sú súčasťou krivky (krivka nimi prechádza).
Aproximačné krivky – riadiace body nemusia ležať na krivke, ale ovplyvňujú jej tvar.

Spôsob využitia kriviek (na čo sa používajú)¶

Geometrická reprezentácia – krivka je priamo súčasť modelu (obrys, hrana, profil).
Riadiaca funkcia – krivka riadi niečo iné (napr. trajektóriu pohybu).

Príklad (riadiaca funkcia): trajektória lietadla/drónu môže byť definovaná krivkou – objekt sa „hýbe po krivke“.

1D krivkové útvary¶

Polyline (lomená čiara)¶

1D útvar definovaný vrcholmi a hranami (segmentmi): - neuzavretý (acyklický) – min. 2 vrcholy, - uzavretý (cyklický) – min. 3 vrcholy (najjednoduchší je trojuholník).

Podľa typu segmentov: - lineárny – lineárny je iba vtedy, ak sú všetky segmenty lineárne, - nelineárny – stačí jeden nelineárny segment a celý útvar je nelineárny.

Podľa vplyvu vrcholov na tvar: - interpolačný – vrcholy sú súčasťou krivky, - aproximačný – vrcholy nemusia byť súčasťou krivky, ale určujú jej tvar.

Používané krivky (prehľad zo skrípt)¶

lineárne: lineárna interpolácia, lomená čiara,
nelineárne:
Bézierove krivky stupňa n,
racionálne Bézierove krivky stupňa n,
B-spline krivky stupňa n,
kubické B-spline krivky (uniformné / neuniformné),
racionálne B-spline krivky stupňa n (najzložitejšie).

Modifikovateľnosť kriviek¶

Krivky je možné modifikovať najmä: - zmenou polohy riadiacich vrcholov, - zmenou váh riadiacich vrcholov, - modifikáciou uzlového vektora.

43. Fergusonova krivka¶

Charakteristika¶

Interpolačná krivka, nelineárna.
Spájaná s James Ferguson (1963).
V materiáloch sa spomína použitie (napr. „krídlo Boeingu“).

Definícia (podľa podkladov)¶

Je definovaná 4 základnými vektormi: - G, H – polohové vektory začiatku a konca, - g, h – dotyčnicové (tangent) vektory v bodoch G a H (štartový a koncový).

Poznámka z podkladov¶

uvádza sa príliš veľká citlivosť pre zaoblenie (t. j. malé zmeny dotyčníc môžu výrazne meniť tvar).

44. Bézierove krivky¶

Charakteristika (kubická Bézierova krivka)¶

Aproximačná krivka, typicky uvádzaná ako kubická.
Spájaná s Pierre Bézier (1960s) (v materiáloch sa spomína Citroën).
Interpoluje koncové vrcholy (prechádza začiatočným a koncovým bodom), ostatné riadiace body určujú „zaoblenie“.

Vlastnosti uvádzané v materiáloch¶

Definovaná polynomiálnou funkciou stupňa n (v poznámkach: „n = počet riadiacich vrcholov“).
Krivka leží v konvexnom obale riadiacich vrcholov.
Pseudolokálna kontrola – posun riadiaceho vrcholu mení krivku najmä v jeho okolí.
Afinná invariancia – ak aplikujem afinnú transformáciu na riadiace body (napr. otočenie), zachová sa tvar krivky (transformuje sa spolu s nimi).

Príklad (afinná invariancia): ak chcem krivku otočiť, stačí otočiť jej riadiace body a krivka sa „otočí správne“.

45. Spline, Catmull-Rom spline a B-spline krivka¶

Spline (všeobecne)¶

Spline krivka je (v podkladoch) popísaná funkciou f(x), ktorá je po intervaloch polynóm:
na intervale ⟨x_k, x_{k+1}⟩ platí f(x) = f_k(x), kde f_k je polynóm stupňa m,
spline má spojité derivácie až do rádu (m−1).
Najčastejšie sa používajú kubické spline funkcie (m = 3).
V poznámkach sa uvádza, že spline je „aproximačná (vychádza z Bézierovej)“ a má hladko nadväzujúce segmenty.

Catmull-Rom spline¶

V materiáloch sa uvádza ako spline typ (najmä v druhom bloku poznámok): - patrí medzi interpolačné krivky (prechádza riadiacimi bodmi).

(Ďalšie detaily v dodaných poznámkach nie sú rozpracované, preto sa držíme tejto charakteristiky.)

B-spline krivka¶

B-spline je zovšeobecnenie Bézierových kriviek; v podkladoch sa uvádza, že:
namiesto Bernsteinových polynómov sa používajú „jednoduchšie funkcie“,
je „hladšia ako Bézier“, ale „ťažšie sa ovláda“.
Vlastnosti:
aproximačná, často uvádzaná ako uniformná,
pseudolokálna kontrola a segmentovateľnosť (dá sa rozbiť na segmenty nižšieho rádu so spojitými deriváciami),
afinná invariancia.

Poznámka z materiálov k začiatku/koncu krivky: - uvádza sa, že špeciálnym zadaním násobností (uzlového vektora) sa dá dosiahnuť, že krivka začne/končí v určených bodoch, - zároveň sa spomína nevýhoda, že bez úprav krivka nemusí začínať a končiť v prvom/poslednom bode riadiaceho polygónu; „odstráni sa“ zmenou násobností prvých a posledných prvkov uzlového vektora.

46. NURBS krivky¶

V podkladoch sa NURBS objavujú v prehľade ako: - racionálne B-spline krivky stupňa n (uvádzané ako „najzložitejšie“), - spolu s tým sa uvádza modifikovateľnosť cez: - polohu riadiacich vrcholov, - váhy, - uzlový vektor.

Prakticky: ide o krivky, kde sa okrem riadiacich bodov pracuje aj s váhami a uzlovým vektorom, čo dáva širšie možnosti tvarovania.

47. Plochy používané v počítačovej grafike, 2D plošné útvary, modifikovateľnosť plôch¶

Základné typy plôch (podľa spôsobu popisu)¶

Plochy dané analytickým popisom
Interpolačné plochy
Aproximačné plochy

2D plošné útvary¶

V podkladoch sa ako základ uvádza polygón (2D útvar definovaný vrcholmi a hranami): - lineárny – všetky segmenty musia byť lineárne (najjednoduchší lineárny je trigón – trojuholník), - nelineárny – najjednoduchší nelineárny sa v poznámkach uvádza ako digón.

Používané plochy (prehľad zo skrípt)¶

lineárne: rovinné (pravítkové) plochy,
nelineárne:
Bézierove plochy,
B-spline plochy,
racionálne B-spline plochy,
uniformné / neuniformné varianty.

Modifikovateľnosť plôch¶

Analogicky ako krivky: - zmena polohy riadiacich vrcholov, - zmena váh riadiacich vrcholov, - modifikácia uzlových vektorov.

Príklady použitia (zo skrípt)¶

povrchy/terén (digitálny terén, 3D skenovanie terénu),
3D skenovanie a 3D tlač,
medzi príklady analytických plôch sa uvádzajú napr. guľovitá a elipsovitá.

Poznámka k pojmom z podkladov: - Morphing: proces „prechodu medzi tvarmi“, - Warping: „prebratie tvaru“ (cieľového tvaru), - v poznámkach sa uvádza, že často stačí morfovať len riadiace vrcholy.

48. Coonsova bilineárna plocha¶

Charakteristika¶

Coonsova bilineárna plocha je všeobecnejšia ako pravítková plocha:
ak sú protiľahlé strany úsečky, dostaneme priamkovú (pravítkovú) plochu.
V materiáloch je popísaná cez 9 riadiacich bodov, čo zodpovedá matici 3×3.

Parametrizácia a výpočet (podľa podkladov)¶

používa sa dvojica parametrov (u, w),
výpočet sa typicky realizuje ako:
dvojitý cyklus (cez u, w),
pre každú zložku súradníc (x, y, z),
v poznámkach sa spomína „hlavná vypuklosť“ (dominantný vplyv stredového bodu P(u,w) v strede).

Poznámka z ďalších poznámok: - uvádza sa, že problémom môže byť náročnejšie dosiahnuť hladké spojenie dvoch plôch (kvôli dotyčnicovým vektorom).

49. Bézierová bikubická plocha¶

Charakteristika¶

Základná Bézierova plocha sa uvádza ako Bézierova bikubická plocha.
Je daná maticou 4×4 riadiacich bodov, teda 16 uzlov (B_{ij}, i,j = 0..3).
V podkladoch sa uvádza, že plocha je definovaná explicitnou rovnicou (bez potreby ju tu rozpisovať).

Praktická poznámka zo zhrnutia: - Bézierove plochy sú vhodné na hladké povrchy, manipulácia je „ľahká“ cez riadiace body, - priamy výpočet niektorých operácií môže byť náročný (v poznámkach sa uvádza napr. priesečník s čiarami ako bariéra pre niektoré geometrické techniky).

Rýchle skúškové zhrnutie (čo vedieť povedať)¶

Krivky (a plochy) patria do 1. vrstvy (model) a 2. vrstvy (transformácie) vizualizačného procesu.
Typy kriviek/plôch: analytické, interpolačné, aproximačné.
Použitie kriviek:
geometrická reprezentácia (časť objektu),
riadiaca funkcia (trajektória, riadenie pohybu).
1D útvar polyline: acyklický/cyklický, lineárny/nelineárny, interpolačný/aproximačný.
Fergusonova krivka: interpolačná, definovaná (G,H) a dotyčnicami (g,h).
Bézierova krivka: aproximačná, interpoluje koncové body; konvexný obal, pseudolokálna kontrola, afinná invariancia.
Spline: po intervaloch polynóm, dôležité sú spojité derivácie, často kubické.
B-spline: zovšeobecnenie Bézier; „hladšie“, segmentovateľné, pseudolokálna kontrola; dá sa ovplyvniť uzlovým vektorom (násobnosti).
NURBS: v podkladoch ako racionálne B-spline (váhy + uzlový vektor + riadiace body).
Plochy: analytické/interpolačné/aproximačné; polygón lineárny (trigón) / nelineárny (digón); modifikácia cez riadiace body, váhy, uzly.
Coons bilineárna plocha: 3×3 (9 bodov), parametre u,w, výpočet dvojitým cyklom; všeobecnejšia než pravítková plocha.
Bézier bikubická plocha: 4×4 (16 bodov), definovaná explicitne (v podkladoch).