Transformácie v počítačovej grafike (otázky 26 - 35)¶

[Zdroj: PG_2021_Otazky_z_predmetu.pdf, skuska2023.pdf, prednasky.pdf]

26. Transformácie a transformačné zobrazovacie reťazce v rámci počítačovej grafiky¶

Kde sa to nachádza vo vizualizačnom procese¶

Transformácie patria do 2. fázy vizualizačného procesu.

Čo je transformácia¶

Transformácia je proces, ktorý mení (transformuje) vstupný objekt (resp. jeho parametre) na objekt výstupný.

Ako môžu byť transformácie aplikované¶

Paralelne – transformácie sa navzájom neovplyvňujú.
Sekvenčne – transformácia je zložená z viacerých dielčich transformácií.
aby bola výsledná transformácia lineárna, všetky dielčie transformácie musia byť lineárne.

Lineárne vs. nelineárne transformácie (podľa podkladov)¶

Lineárne (afinné): posunutie, otočenie, zmena mierky, skosenie, zrkadlenie
(pozn.: v materiáloch sú tieto transformácie uvádzané ako afinné; pri lineárnom pohľade „nemenia charakter objektu“)
Nelineárne: distorzia, rybie oko, panoráma, zošikmenie
(pozn.: v materiáloch sa uvádza, že „menia charakter objektu“)

Medzisústavové transformácie v transformačnom reťazci¶

Podklady uvádzajú medzisústavové transformácie: - GT – globálna (geometrická) transformácia
- PT – pohľadová transformácia
- ZT – zobrazovacia (premietacia) transformácia
- OT – orezávacia transformácia

Poznámka z materiálov: - „kameru chápeme ako prevodové zariadenie medzi dimenziami“ - zreťazenie transformácií medzi súradnicovými sústavami sa chápe ako transformačný reťazec (2D aj 3D varianta)

27. Transformácie v rámci zobrazovacích reťazcov, transformačné matice a homogénne súradnice, afinné transformácie¶

Kde v reťazci môžem aplikovať transformáciu¶

Požadovanú zmenu môžem vykonať v rôznych bodoch reťazca.
Príklad z podkladov: ak mám kocku a chcem ju 2× zväčšiť, môžem to spraviť:
na úrovni GT (geometricky zväčším objekt),
na úrovni PT (zmením „kameru“ – napr. priblížim),
prípadne cez ZT/OT (podľa toho, čo presne chcem dosiahnuť).

Homogénne súradnice (idea z podkladov)¶

Zavádzajú sa ako „pomocná“ dimenzia/súradnica, ktorá umožní realizovať výpočty v jednoduchej forme.
Podklady to vysvetľujú metaforou „paralelného vesmíru“:
„odskočím“ do pomocnej súradnicovej sústavy,
tam vykonám požadovanú operáciu,
a vrátim sa späť.

Dôležité praktické fakty z podkladov: - Transformačné matice sú potom: - pre 2D: 3×3 - pre 3D: 4×4 - Pri voľbe hodnoty na homogenizačnej osi sa volí taká hodnota, ktorá tvorí „neutrálnu hodnotu“ pre danú operáciu (v podkladoch je uvedený príklad: pri násobení matíc je to typicky 1).

Afinné transformácie (podľa podkladov)¶

Podklady medzi afinné transformácie zaraďujú: - zrkadlenie (najmenej zložité), - zmena mierky, - posunutie, - skosenie, - otočenie (najviac zložité).

Poznámka: - Implementácia afinných transformácií sa líši pre: - vektorové objekty - rastrové objekty - Pri niektorých transformáciách je rozdiel výrazný, pri iných takmer žiaden (podľa podkladov).

28. Transformácia zrkadlenia¶

Zrkadlenie (2D) – základné vzťahy (podľa podkladov)¶

Zrkadlenie v 2D v podkladoch „spočíva vo výmene znamienok“:
vzhľadom na os x: (x' = x,\; y' = -y)
vzhľadom na os y: (x' = -x,\; y' = y)
vzhľadom na stred: (x' = -x,\; y' = -y)

Poznámky k dimenzii „zrkadliaceho“ objektu (podľa podkladov)¶

„Môžem zrkadliť nad objektom, ktorého dimenzia je nižšia ako objektu, nad ktorým robím zrkadlenie.“
„Koľko znamienok mením, toľko je rozdiel dimenzií týchto objektov.“

Zrkadlenie rastrového objektu (poznámka z podkladov)¶

„RASTER – nemôžem zrkadliť naraz“
vymieňam buď po stĺpcoch alebo riadkoch
používa sa napr. keď chcem „otočiť len objekt, ale pozadie nie“

Zrkadlenie (3D)¶

Podklady uvádzajú aj „Zrkadlenie (3D)“ (bez ďalších detailov v tomto výpise).

29. Transformácia posunutia¶

Podklady uvádzajú posunutie ako TRANSLÁCIU (bez rozpisu rovníc v tomto výpise).

30. Transformácia zmeny mierky, zväčšenie/zmenšenie rastrového objektu¶

Zmena mierky ako afinná transformácia¶

patrí medzi afinné transformácie (uvedené pri otázke 27).

Zväčšenie rastrového objektu (podľa podkladov)¶

Podklady uvádzajú postup (najmä pre prípad, keď desatinná časť koeficientu spadá do určitého intervalu): 1. výpočet nového rozmeru podľa koeficientu zmeny mierky, 2. výpočet priameho a korekčného koeficientu a nového celočíselného rozmeru, 3. výpočet rozdielu nového rozmeru a celočíselného rozmeru, následne výpočet krokov aplikácie korekčného koeficientu
- idea: „koľko pixelov ešte musím dopracovať v každom smere“ a „v ktorom kroku aplikovať korekčný krok“, 4. aplikácia na pixely rastrového objektu.

V alternatívnom zhrnutí v podkladoch sa uvádzajú kroky: 1. výpočet predpokladaného nového rozmeru, 2. určenie celočíselnej a desatinnej časti koeficientu, 3. otestovanie, či desatinná časť je > 0,5, 4. určenie pomocného priameho koeficientu, 5. výpočet veľkosti rozmeru rastra, 6. výpočet rozdielu (aby sme vedeli koľko bodov doplniť), 7. výpočet korekčného kroku, 8. konečné priradenie koeficientov v jednotlivých krokoch.

Zmenšenie rastrového objektu (podľa podkladov)¶

koeficient zmeny mierky sa počíta „opačne“: M = 1/M
tým sa určí, aká matica pixelov tvorí „subpixel“ (napr. 2×2, 3×3, 3×2),
určí sa farba subpixelu, napr.:
spriemerovanie / mediánová funkcia (4/8 susedstvo),
najčastejší výskyt,
najmenší výskyt,
farba ľavého horného bodu.

31. Transformácia skosenia, skosenie rastrového objektu¶

Podklady uvádzajú:
Skosenie (2D)
Skosenie (3D)
Skosenie rastrových objektov
(V tomto výpise nie sú doplnené konkrétne vzorce/postup, preto sa uvádza len existencia témy podľa podkladov.)

32. Transformácia otočenia¶

Otočenie (všeobecne)¶

Podklady uvádzajú dva prístupy: - otáčanie definované Eulerovými uhlami a reprezentované všeobecnými transformačnými maticami
- vždy treba definovať, okolo ktorej osi sa deje čiastková rotácia
- podklady uvádzajú, že „neumožňuje všeobecnú rovnicu pre rotáciu“ (v zmysle jedného univerzálneho tvaru bez rozkladu na osi) - otáčanie definované Eulerovým teorémom a reprezentované quaterniónmi (v podkladoch poznámka: 1841; dnes používané)

Podklady osobitne uvádzajú: - Otočenie (rotácia) 2D - Otočenie (rotácia) 3D
- „nesmiem to spraviť naraz v 1 matici (mením 2 súr.)“
- „robí sa to krok po kroku“
- „dá sa kombinovať s posunom (neprekrývajú sa koeficienty)“

33. Otáčanie okolo všeobecnej priamky využitím Eulerových uhlov, gimbal lock, quaternióny¶

Rotácia okolo všeobecnej priamky (pri Eulerových uhloch)¶

Podklady uvádzajú postup (len pre Eulerove uhly; pri quaterniónoch sa to robí naraz): 1. posunieme sústavu/objekty tak, aby os otáčania prechádzala počiatkom súradnicovej sústavy (Tp) 2. celé to (vrátane osi) „sklopím do pôdorysu“ (Toa) 3. os otáčania stotožním s niektorou osou sústavy (Tob) 4. vykonám rotáciu okolo požadovanej osi (To) 5.–7. návrat do pôvodnej polohy (inverzie), aby os otáčania bola tam kde na začiatku

Problémy uvedené v podkladoch¶

inverzná matica nemusí existovať,
pri určitých uhloch (blízko 0° a 90°) môže vzniknúť nedefinovaný výsledok (podklady to viažu na tangens a nespojitý obor hodnôt).

Gimbal lock (strata stupňa voľnosti)¶

Podklady: „Je možné vytvoriť takú postupnosť rotácií, že vo výslednej rotácii sa stratí jeden stupeň voľnosti.“
Táto situácia sa nazýva gimbal lock (strata stupňa voľnosti).

Stupeň voľnosti (DOF) – podľa podkladov: - počet transformácií (najčastejšie translačných a rotačných) vzhľadom na počet nezávislých súradníc (dimenzií) z hľadiska pohyblivosti objektu v danej súradnicovej sústave, - v kartezianskej sústave: translácia DOF = 3, rotácia DOF = 3 → spolu typicky 6 DOF.

Quaternióny (poznámka z podkladov)¶

Podklady uvádzajú quaternión ako „komplexné číslo tvorené 4 zložkami“:
jedna zložka popisuje veľkosť zmeny mierky,
jedna zložka popisuje veľkosť uhla,
dve zložky označujú rovinu, v ktorej sa vektor bude otáčať.

34. Transformácia otočenia rastrového objektu¶

Podklady rozlišujú dve stratégie:

a) Priame otáčanie (s interpoláciou protiľahlých bodov)¶

„idem po pixeloch a hľadám ich nové pozície“
problém: v rastri pracujeme s celými číslami, vznikajú float hodnoty a pri zaokrúhľovaní:
môže sa stať, že na 1 miesto „padnú“ 2 pixely
- stratégie podľa podkladov: farba prvého / farba posledného
môžu vznikať „diery“
- riešenie: masková matica obsadenosti (0/1); tam kde ostane 0, doplní sa farba (v podkladoch: „väčšinou medián“)

b) Spätné otáčanie (s interpoláciou všetkých bodov)¶

vezmem vzor a otočím len jeho hraničné body (vrcholy),
medzi vrcholmi vypočítam úsečky (Bresenham) → dostanem hrany,
v ohraničenej oblasti počítam spätne transformáciu, aby som správne určil farby,
použijem inverznú maticu,
podľa podkladov „vedie jednoznačne k cieľu“.

35. Morphing, warping¶

Podklady v tomto výpise neuvádzajú konkrétny postup alebo definície pre morphing/warping (je tu len názov otázky).
Zároveň sa v podkladoch uvádza existencia nelineárnych transformácií (napr. distorzia, rybie oko, panoráma, zošikmenie), do ktorých sa morphing/warping tematicky zaraďujú.

Rýchle skúškové zhrnutie (čo vedieť povedať)¶

Transformácie patria do 2. fázy vizualizačného procesu; transformácia mení vstupný objekt na výstupný.
Transformácie môžu byť paralelné alebo sekvenčné; aby bolo zreťazenie lineárne, všetky dielčie transformácie musia byť lineárne.
Lineárne/afinné: zrkadlenie, zmena mierky, posunutie, skosenie, otočenie; nelineárne: distorzia, rybie oko, panoráma, zošikmenie.
Transformančný reťazec (medzisústavové transformácie): GT, PT, ZT, OT; zmenu (napr. „zväčšenie“) viem spraviť v rôznych častiach reťazca.
Homogénne súradnice: pomocná dimenzia; matice pre 2D 3×3, pre 3D 4×4; typicky neutralita 1 v homogenizačnej osi pri maticových výpočtoch.
Zrkadlenie 2D: výmena znamienok podľa osi (x, y, stred); raster sa zrkadlí výmenou po riadkoch/stĺpcoch.
Zmena mierky raster: zväčšenie s priamym a korekčným koeficientom; zmenšenie cez subpixely (2×2, 3×3, ...) a určenie farby (priemer/medián/častosť/...).
Rotácia: Eulerove uhly (postupné rotácie okolo osí) vs quaternióny; rotácia okolo všeobecnej priamky cez posuny/rotácie a návraty.
Gimbal lock: strata stupňa voľnosti; DOF vysvetliť (napr. v 3D translácia 3 + rotácia 3).
Rotácia rastra: priame otáčanie (kolízie, diery → maska + doplnenie farby) vs spätné otáčanie (inverzná matica, jednoznačný výsledok).